Capítulo 1
El azar
Para entender por qué gana la casa, primero aprende a calcular lo fácil o difícil que es que algo salga.
Qué vas a aprender (5 cosas)
- Contar todo lo que puede salir: el Espacio muestralLa lista de todo lo que puede salir. Con un dado: 1, 2, 3, 4, 5 y 6..
- Calcular una probabilidad con la regla de Laplace.
- Explicar por qué, tirando mucho, la frecuencia se acerca a la probabilidad.
- Contar los boletos de una lotería con combinaciones.
- Explicar por qué la ruleta no se acuerda de lo que salió.
¿Te suena? Un repaso rápido, por si acaso
En este libro una probabilidad se escribe de cuatro formas, y las cuatro dicen lo mismo.
Ejemplo resuelto
- Paso 1: Divide 1 entre 6: 0,1666…
PropiedadMultiplicar fracciones
Arriba por arriba y abajo por abajo.
Una probabilidad va siempre de 0 (no puede pasar) a 1 (pasa seguro). Si te da más de 1 o menos de 0, revisa la cuenta.
Juega
Lanzas 5 monedas a la vez. ¿Sale menos CCCCC (todo caras) que una fila mezclada concreta, como CXCXX?
C es cara. X es cruz.
Pulsa ×1 para lanzar las 5 monedas una vez. ×1000 las lanza 1000 veces de golpe.
Con 5 monedas pueden salir 32 filas distintas de caras y cruces. Solo 2 no están mezcladas: CCCCC y XXXXX. Las otras 30 sí lo están.
- Filas mezcladas
- ?
- Filas sin mezclar
- ?
Vigilamos 3 de las 32 filas: una sin mezclar y dos mezcladas. Mira cuántas veces sale cada una.
- Fila 1: C C C C C.0 veces
- Fila 2: C X C X X.0 veces
- Fila 3: X X C X C.0 veces
La cuenta
Para pensar
DefiniciónEspacio muestral
La lista de todo lo que puede salir se llama espacio muestral. Cada moneda tiene 2 opciones, así que 5 monedas dan 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 filas. El 5 pequeño de 2⁵ dice cuántas veces multiplicas el 2.Lo que has visto
Cada una de tus 3 filas salió unas 3 veces de cada 100 tiradas. CCCCC no salió menos que CXCXX ni que XXCXC.
¿Cómo funciona?
Ninguna de las 32 filas sale más que otra. Cada moneda sale cara la mitad de las veces, salga lo que salga en las otras monedas.
Para que salga CCCCC, las 5 monedas tienen que salir cara. Cada una lo hace la mitad de las veces, así que multiplicas ½ cinco veces: 1 de cada 32. Cualquier otra fila, como CXCXX, sale igual: 1 de cada 32.Si tiras pocas veces, puede que una fila salga menos solo por suerte. Si pulsas «Empezar de cero» y repites, lo normal es que la que salga menos sea otra fila.
Ponte a prueba
Ejercicio 1
Lanzas 4 monedas a la vez. ¿Cuántas filas distintas de caras y cruces pueden salir?
Paso 2Dos dados: pinta las casillas que buscas. Más adelante
Juega
Tiras dos dados. Elige qué quieres que salga y pinta en la tabla las parejas de dados que lo cumplen.
La cuenta
Para pensar
DefiniciónRegla de Laplace
A es lo que buscas, por ejemplo «suma 7», y P(A) se lee «probabilidad de A». Si todas las casillas son igual de fáciles de sacar, P(A) es: casillas que te sirven (casos favorables) dividido entre todas las casillas (casos posibles). Para «suma 7»: 6 entre 36.Lo que has visto
Has pintado las casillas de lo que buscabas. Ese grupo de casillas se llama SucesoLo que buscas que pase, por ejemplo «sacar un número par» con un dado. Es un grupo de resultados (2, 4 y 6) y ocurre si sale cualquiera de ellos., y cada casilla del grupo es un caso favorable. Su probabilidad es el número de casillas pintadas dividido entre 36.
¿Cómo funciona?
PropiedadLo contrario
Lo contrario de «sale al menos un 6» es «no sale ningún 6». Sin ningún 6, cada dado tiene 5 opciones (del 1 al 5): 5 · 5 = 25 casillas. Las que quedan, 36 menos 25 = 11, tienen al menos un 6.
La probabilidad de al menos un 6 es 1 menos la de ningún 6: 1 menos 25/36, que da 11/36.Ponte a prueba
Ejercicio 1
¿Cuántas casillas de la rejilla suman 8?
Paso 3¿Cuántos seises salen si tiras mucho?. Más adelante
Juega
Lanza un dado muchas veces. De cada 100 tiradas, ¿cuántas son un 6?
La cuenta
Para pensar
PropiedadLey de los grandes números
Si repites algo muchísimas veces, la parte de veces que sale (aquí, seises dividido entre tiradas) se acerca cada vez más a su probabilidad. La flecha quiere decir «se acerca a». Para el 6, a 1/6: unas 17 de cada 100.Lo que has visto
Con pocas tiradas, tu línea subía y bajaba mucho. Con miles de tiradas, los seises se quedaron cerca de 17 de cada 100 y casi no cambiaban.
¿Cómo funciona?
Las veces que sale el 6 divididas entre las tiradas se llama Frecuencia relativaLas veces que ha pasado algo divididas entre las veces que lo has probado. Si en 100 tiradas salen 17 seises, es 17/100 = 0,17, o sea, 17 de cada 100.. Con pocas tiradas, ese número sube y baja mucho. Con miles de tiradas, casi no se mueve.
Por eso a un casino le da igual perder una noche: con millones de jugadas sabe cuánto va a ganar.
Ponte a prueba
Ejercicio 1
Lanzas un dado 600 veces. ¿Cuántos seises esperas, más o menos?
Paso 4Rellena tu boleto. Más adelante
Juega
Elige 6 números y juega. ¿Cuántos aciertas?
La cuenta
Para pensar
Lo que has visto
Jugaste muchas semanas y no acertaste los 6. Es lo normal: hay casi 14 millones de boletos distintos y solo uno acierta los 6.
¿Cómo funciona?
PropiedadCombinaciones
Para el primer número tienes 49 opciones, para el segundo 48 (uno ya está elegido), y así hasta el sexto: 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44. Pero el boleto 1, 2, 3, 4, 5, 6 es el mismo que 6, 5, 4, 3, 2, 1, así que divides entre las 720 formas de ordenar 6 números (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1).
(49 sobre 6) son las formas de elegir 6 números de 49 sin importar el orden: 13 983 816 boletos distintos.¿Y acertar justo 3? Hay más boletos así: 3 de los 6 números que salen (20 formas) y 3 de los 43 que no salen (12 341 formas). 20 · 12 341 = 246 820 boletos.
P(3), la probabilidad de acertar justo 3, es 246 820 dividido entre 13 983 816. Da 0,018: unos 2 de cada 100 boletos aciertan 3.Ponte a pruebaDifícil
Ejercicio 1
En una lotería pequeña eliges 2 números del 1 al 5, y el orden no importa. ¿Cuántos boletos distintos hay?
Paso 5Tras 3 rojos, ¿toca negro?. Más adelante
Juega
En la ruleta salen 3 rojos seguidos. ¿Ahora es más fácil que salga negro?
La cuenta
Para pensar
DefiniciónIndependencia
La probabilidad de negro justo después de 3 rojos es la misma que en cualquier otra tirada. Cuando lo que salió antes no cambia la probabilidad de lo que viene, decimos que son independientes.Lo que has visto
Después de 3 rojos, el negro salió igual que en el resto de tus tiradas, unas 49 de cada 100 veces. La ruleta no se acuerda de lo que salió antes.
¿Cómo funciona?
En los libros lo verás así. A es «salieron 3 rojos», B es «sale negro» y la raya | se lee «sabiendo que». De todas las veces que salieron 3 rojos, mira en cuántas salió después negro: es la fila «Después de 3 rojos» de la tabla. Independencia es P(B | A) = P(B).La ruleta tiene 37 casillas: 18 rojas, 18 negras y el 0, que es verde. Por eso el negro sale 18 de cada 37 veces, algo menos de la mitad. Pensar que después de varios rojos ya le toca al negro es un error tan común que tiene nombre: la Falacia del jugadorCreer que, después de que algo salga varias veces seguidas (por ejemplo, 3 rojos), ahora le toca salir a lo contrario. Es falso: cada tirada del dado o de la ruleta empieza de cero y no depende de las anteriores..
Que salgan 3 rojos seguidos pasa unas 11 o 12 veces de cada 100: 18/37 multiplicado por sí mismo 3 veces. Por eso en este paso hacen falta tantas tiradas.Ponte a prueba
Ejercicio 1
En la ruleta hay 18 casillas rojas de 37. ¿Qué probabilidad hay de que salgan 2 rojos seguidos? Redondea a dos decimales.
Retos del capítulo
Sin juguete delante y de menos a más: el primero es para calentar. Si fallas, la pista te dice por dónde ir.
Fácil
Reto 1
Lanzas una moneda y un dado a la vez. ¿Cuántos resultados distintos hay, como (cara, 4)?
Normal
Reto 2
Tiras dos dados. ¿Qué probabilidad hay de que sumen 10? Escribe una fracción.
Normal
Reto 3
¿De cuántas formas puedes ordenar 4 libros distintos en una estantería?
Normal
Reto 4
Con una moneda normal han salido 6 caras seguidas. En la próxima tirada…
Difícil
Reto 5
Lanzas 3 dados. ¿Qué probabilidad hay de sacar al menos un 6? Redondea a dos decimales.
Para ir más lejos
PropiedadCombinaciones
El signo ! se lee «factorial»: 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Con él, las formas de elegir k cosas de n, sin que importe el orden, son n! dividido entre k! y entre (n − k)!. Por ejemplo, elegir 6 números de 49 da 13 983 816.