Capítulo 2
Lo que ganas o pierdes
Cuánto ganas o pierdes de media.
Qué vas a aprender (5 cosas)
- Explicar qué es una Variable aleatoriaUn número que sale al azar, como la suma de dos dados o las fichas que ganas en una jugada. y qué valores puede tomar.
- Leer una distribución: cada premio con su probabilidad.
- Calcular la esperanza de un juego y decidir si te conviene.
- Comprobar que en la ruleta todas las apuestas pierden lo mismo.
- Calcular la ventaja de la casa a partir de lo que paga.
¿Te suena? Un repaso rápido, por si acaso
En este capítulo, lo que ganas lleva signo más y lo que pagas, signo menos: cobrar 4 fichas es +4 y pagar 1 ficha es −1.
PropiedadUn número por una fracción
Multiplica el número por el de arriba y deja igual el de abajo.
Ejemplo resuelto
- Paso 1: Suma todo: 4 − 1 − 1 − 1 = 1.
La media puede ser un número que no sale en ninguna partida, como 0,25 fichas. Es lo que tocaría por partida si lo repartieras todo a partes iguales.
Juega
Lanza dos dados y mira qué suma sale más.
Cuántas veces sale cada suma Juega y mira cómo crecen las barras
Aún no has jugado.Juega y mira cómo crecen las barras
Para los curiosos
La cuenta
Para pensar
DefiniciónVariable aleatoria
X es la suma de los dos dados. Se llama variable aleatoria porque su valor sale al azar: puede ser cualquier número del 2 al 12.Lo que has visto
El 7 te ha salido más que las otras sumas porque tiene más parejas: 6 de las 36.
La suma de dos dados sale al azar: es una Variable aleatoriaUn número que sale al azar, como la suma de dos dados o las fichas que ganas en una jugada..
¿Cómo funciona?
PropiedadTodas las probabilidades juntas dan 1
Hay 36 parejas posibles y cada pareja da una sola suma. Si repartes las 36 parejas entre las sumas del 2 al 12, no sobra ni falta ninguna. Por eso todas las probabilidades juntas dan 36/36 = 1.
Para saber cuántas parejas dan una suma x, mira a qué distancia está del 7 (las barras | | quieren decir «distancia») y réstala de 6. Por ejemplo, el 5 está a 2 del 7, así que tiene 6 − 2 = 4 parejas y su probabilidad es 4/36.Ponte a prueba
Ejercicio 1
Tiras dos dados. ¿Qué probabilidad hay de que sumen 5? Escribe una fracción.
Paso 2Rasca boletos. Más adelante
Juega
Rasca boletos. ¿Cuántos traen premio?
La cuenta
Para pensar
DefiniciónDistribución
La distribución es la lista de todos los premios posibles con la probabilidad de cada uno. Para cada premio x, cuenta cuántos de los 2 millones de boletos de la tanda lo dan y divide entre 2 millones.Lo que has visto
Unos 32 de cada 100 boletos traen premio.
Pero más de 1 de cada 3 boletos con premio solo te devuelve las 6 fichas que pagaste: no ganas nada.
¿Cómo funciona?
Los premios son los de un rasca de verdad, publicados en el BOE (el boletín oficial del Estado). Se imprimen en tandas de 2 000 000 de boletos y cada tanda trae un número fijo de cada premio. Aquí 1 euro son 2 fichas: el boleto cuesta 6 fichas y nunca salen medias fichas.
Probabilidad de que un boleto te devuelva más de las 6 fichas que cuesta: 398 370 entre 2 millones, unos 20 de cada 100.Ganancia media por boleto: todos los premios de la tanda (7 800 000 fichas) entre los 2 millones de boletos dan 3,90 fichas por boleto. Le restas las 6 que cuesta: de media pierdes 2,10 fichas por boleto.Ponte a prueba
Ejercicio 1
Unos 32 de cada 100 boletos traen premio. Si rascas 50 boletos, ¿cuántos esperas que traigan premio?
Paso 3Lo que ganas de media. Más adelante
Juega
Lanzas un dado. Si sale 6, cobras 4 fichas. Si no, pagas 1.
La cuenta
Para pensar
DefiniciónEsperanza
La esperanza (E) es lo que ganas o pierdes de media en cada jugada si juegas muchísimas veces. Se calcula así: cada resultado (lo que cobras o lo que pagas) por su probabilidad, y todo sumado.Lo que has visto
Con muchas jugadas, tu media se acercó a un número: la Esperanza matemáticaLo que ganas o pierdes de media en cada jugada si juegas muchas veces. Se calcula así: multiplica cada premio por su probabilidad, suma todo y réstale lo que cuesta jugar..
En este juego es −0,17: de media pierdes 1 ficha cada 6 jugadas, así que no te conviene.
¿Por qué tu media acaba cerca de la esperanza (E)?
Llamamos n al número de jugadas. Con muchas jugadas, la parte de veces que sale 6 se acerca a 1 de cada 6, y la parte de veces que sale otro número se acerca a 5 de cada 6.
La flecha → se lee «se acerca a». Los seises divididos entre n se acercan a 1/6 y los demás números divididos entre n se acercan a 5/6. Por eso tu media se acerca a la esperanza.Ponte a prueba
Ejercicio 1
¿Cuántas fichas tendría que pagar el 6 para que, de media, ni ganes ni pierdas (esperanza 0)?
Paso 4La cuenta de la ruleta. Más adelante
Juega
Apuesta al rojo. ¿Cuánto pierdes de media?
La cuenta
Para pensar
PropiedadMisma esperanza
Rojo: ganas 1 ficha en 18 casillas y pierdes 1 en las otras 19. Docena (12 números): ganas 2 en 12 casillas y pierdes 1 en las otras 25. Un número: ganas 35 en 1 casilla y pierdes 1 en las otras 36. Las tres dan −1/37: de media pierdes 1 ficha de cada 37.Lo que has visto
Da igual a qué apuestes (rojo, docena o un número): de media pierdes 1 ficha por cada 37 que apuestas.
Ponte a prueba
Ejercicio 1
Juegas 370 veces 1 ficha al rojo. ¿Cuántas fichas esperas perder?
Paso 5Tú eres la casa. Más adelante
Juega
Eres el casino: elige cuánto pagas a quien acierte un número.
La cuenta
Para pensar
DefiniciónVentaja de la casa
Lo que se queda la casa, de media, por cada ficha apostada. Es lo que pierde el jugador de media, cambiado de signo: si él pierde 0,027 por ficha, la casa gana 0,027.Lo que has visto
Si pagas menos de 36, la casa gana a la larga.
Pagando 35, la casa se queda 2,7 de cada 100 fichas y al jugador le vuelven 97,3 (el RTP (retorno al jugador)Lo que vuelve a quien juega de cada 100 fichas, de media. Si la casa se queda 2,7, vuelven 97,3.).
¿Por qué 36 es lo justo?
Imagina 37 jugadores, cada uno con 1 ficha en una casilla distinta. Uno acierta y le pagas k fichas (k es el pago que eliges). Los otros 36 pierden su ficha y te la quedas tú.
Entre los 37 jugadores cobras 36 fichas y pagas k. Si k es 36, pagas lo mismo que cobras y nadie gana. Por eso 36 es el pago justo.Ponte a prueba
Ejercicio 1
Imagina que el casino paga 34 fichas a quien acierta un número. ¿Cuántas fichas de cada 37 apostadas se queda, de media?
Retos del capítulo
Sin juguete delante y de menos a más: el primero es para calentar. Si fallas, la pista te dice por dónde ir.
Fácil
Reto 1
Tiras dos dados. ¿Cuántas parejas de dados suman 4?
FácilRepaso del capítulo 1
Reto 2
La ruleta europea tiene 37 casillas. ¿Qué probabilidad hay de que salga el 0? Escribe una fracción.
Normal
Reto 3
Lanzas una moneda. Si sale cara, cobras 3 fichas; si sale cruz, pagas 2. ¿Cuánto ganas de media por jugada?
Normal
Reto 4
Un juego tiene una esperanza de −0,05 fichas por jugada. Juegas 1000 veces. ¿Qué es lo más normal?
Difícil
Reto 5
La ruleta americana tiene 38 casillas: el 0 y el 00. Acertar un número paga 35. ¿Cuál es la ventaja de la casa, en tanto por ciento? Redondea a un decimal.
Para ir más lejos
PropiedadLinealidad
Si multiplicas lo que ganas por un número a y le sumas b, la esperanza también se multiplica por a y se le suma b. Por ejemplo, apostar 5 fichas en vez de 1 multiplica la esperanza por 5.